מתמטריק
חפיפת משולשים: משפט צ.ז.צגאומטריה 571 · שיעור 8
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 8: חפיפת משולשים: משפט צ.ז.צ

פרק 3 · חפיפת משולשים
1מה זה חפיפה ואיך כותבים התאמה
2משפט חפיפה צ.ז.צ
34 תרגילים, כולל הוכחת משפט שווה שוקיים
הגדרה + משפט
חפיפת משולשים: צ.ז.צ
משולשים חופפים – אותה צורה ואותו גודל. כותבים △ABC ≅ △DEF לפי סדר הקדקודים המתאימים
AB = DE
צלע
∢B = ∢E
הזווית שבין שתי הצלעות
BC = EF
צלע
△ABC ≅ △DEF
צ.ז.צ
📐 משפט חפיפה צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן שוות ← המשולשים חופפים
💡 ממשולשים חופפים מקבלים את כל השאר: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
ABCDEF
📐 הגדרה
משולשים חופפים: אפשר להניח אחד על השני כך שיתלכדו. כותבים את הקדקודים לפי הסדר המתאים
△ABC ≅ △DEF
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 1 · צ.ז.צ · קל
במרובע ABCD: AB = AD, והאלכסון AC חוצה את ∢BAD
הוכיחו: △ABC ≅ △ADC ו־BC = DC
AB = AD , AC חוצה את ∢BAD
נתון
AB = AD
נתון (צלע)
∢BAC = ∢DAC
AC חוצה זווית (הזווית שבין הצלעות)
AC = AC
צלע משותפת
△ABC ≅ △ADC
צ.ז.צ
BC = DC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: △ABC ≅ △ADC ולכן BC = DC
ABCD
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 2 · צ.ז.צ עם זוויות קדקודיות · בינוני
הקטעים AB ו־CD נחתכים בנקודה O, ו־O אמצע של שניהם
הוכיחו: AC = BD ו־AC ∥ BD
AO = OB , CO = OD
נתון
AO = OB
נתון (צלע)
∢AOC = ∢BOD
זוויות קדקודיות
CO = OD
נתון (צלע)
△AOC ≅ △BOD
צ.ז.צ
AC = BD
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
∢A = ∢B
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
∢A ו־∢B זוויות מתחלפות
בין AC ל־BD, החותך AB
AC ∥ BD
זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC = BD ו־AC ∥ BD
ABCDO
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
תרגיל 3 · הוכחת משפט (מבטיחים משיעור 5)
במשולש ABC: AB = AC, ו־AD חוצה את ∢A
הוכיחו: ∢B = ∢C , BD = DC , AD ⊥ BC
AB = AC , AD חוצה את ∢A
נתון
AB = AC
נתון (צלע)
∢BAD = ∢CAD
AD חוצה זווית
AD = AD
צלע משותפת
△ABD ≅ △ACD
צ.ז.צ
∢B = ∢C
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
BD = DC (AD תיכון)
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
∢ADB = ∢ADC , וסכומן 180 ← כל אחת 90
חפיפה + זוויות צמודות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: ∢B = ∢C , BD = DC , AD ⊥ BC
ABCD
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
תרגיל 4 · חפיפה ומשוואה · בינוני
נתון: AB = DE , BC = EF , ∢B = ∢E = 40
∢A = x + 30 , ∢D = 2x − 10. מצאו את x ואת ∢C ו־∢F
AB = DE , ∢B = ∢E , BC = EF
נתון
△ABC ≅ △DEF
צ.ז.צ
∢A = ∢D
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
x + 30 = 2x − 10
מציבים
30 + 10 = 2x − x
מעבירים אגפים
x = 40
כינוס איברים דומים
∢A = ∢D = 40 + 30 = 70
מציבים x = 40
∢C = 180 − 70 − 40 = 70 , ∢F = ∢C = 70
סכום זוויות + חפיפה
✅ פתרון סופי: x = 40 , ∢C = ∢F = 70
ABCDEF4040x + 302x − 1070707070
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
💡 לפני צ.ז.צ בודקים שהזווית נמצאת בין שתי הצלעות. אחרי החפיפה – כל שאר הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא